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中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）

【中考展望】

代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．

题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.

题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.

【方法点拨】

方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．

函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．

函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．

几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．

1． 几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．

2． 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．

3． 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．

4． 解几何综合题应注意以下几点：

（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；

（2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；

（3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；

（4） 注意灵活地运用数学的思想和方法．

【典型例题】

类型一、方程与几何综合的问题

1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；

（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）

【思路点拨】

（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；

（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；

（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；

（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．

【答案与解析】

解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，

∴AB=10cm．

∵BP=t，AQ=2t，

∴AP=AB﹣BP=10﹣t．

∵PQ∥BC，

∴=，

∴=，

解得t=；

（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA

∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•

=24﹣t（10﹣t）

=t2﹣8t+24，

即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；

（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：

由题意，得t2﹣8t+24=×24，

整理，得t2﹣10t+12=0，

解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．

故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；

（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：

①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；

②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；

③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．

故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．

【总结升华】

本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：BE=DF；

（2）当t=　 　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　 　；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

【答案】

解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF=∠BCE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC=BC，

在△DCF和△BCE中，

∵，

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF=BE；

（2）如图1，

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，

在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，

∴设AE′=x，则BE′=2x，

∴AB=x=6，

则AE′=6

∴DE′=6+6，DF=BE′=12，

故答案为：6+6，12；

（3）∵CE=CF，

∴∠CEQ＜90°，

①当∠EQP=90°时，如图2①，

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°，

∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=6，

∴t=6秒；

②当∠EPQ=90°时，如图2②，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，

∴EC与AC重合，

∴DE=6，

∴t=6秒；

（4）y=t﹣12﹣，

如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，

由（1）知∠1=∠2，

又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，

∴∠DCE=∠GCF，

在△DCE和△GCF中，

∵，

∴△DCE≌△GCF（SAS），

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，∠1=∠2，

∴∠2=∠4，

∴GF∥CD，

又∵AH∥BN，

∴四边形CDMN是平行四边形，

∴MN=CD=6，

∵∠BCD=∠DCG，

∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，

∴CN=CG=CD=6，

∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，

∴GN=12，

∴GM=6+12，

∵GF=DE=t，

∴FM=t﹣6﹣12，

∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，

∴FH=（t﹣6﹣12），

即y=t﹣12﹣．

类型二、函数与几何综合问题

2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．

⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；

⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

【思路点拨】

（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；

（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；

（3）根据图形，可直接求得答案．

【答案与解析】

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，

再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，

∵t＞0，

∴b=-t；

（2）不变．

∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，

∴当x=1时，y=1-t，

∴M（1，1-t），

∴AM=|1-t|=t-1，

∵OP=t，∴AP=t-1，

∴AM=AP，

∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；

（3）＜ｔ＜．

①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；

②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：

则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，

即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；

③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；

④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；

⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；

综上所述，t的取值范围是：＜ｔ＜．

【总结升华】

此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

类型三、动态几何中的函数问题

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；

（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.