jensen不等式在数学分析书哪里 Jensen不等式的变形

1、jensen不等式

Jensen不等式是在数学中十分重要的不等式之一，它有着广泛的应用，尤其是在凸分析、概率论和数论中。它的表达式为：如果$f(x)$是一个凸函数，则对于在它的定义域上的任意$x_1,x_2,…,x_n$和任意constants $λ_1,λ_2,…,λ_n$满足$∑λ_i=1, λ_i≥0$，

$f(∑λ_ix_i)≤∑λ_if(x_i)$

直观的说，这个不等式告诉我们，凸函数的平均值要小于等于平均值的函数值的平均值，而且平均值所在的位置越靠中间，平均值就越可以最大化这个函数的值。

Jensen不等式的应用十分广泛，在概率论中我们可以用它来证明某一个函数是一个凸函数、以及在不等式问题中的应用等等，同时，它也有着很多扩展和变形，例如Jensen不等式可以被推广到仅在一些变量的函数概率密度函数不为负的情况下仍然成立。

这个不等式也给我们的思考提供了很多的灵感。它提醒我们要充分利用函数的凸性质，认识到函数值的平均值所在的位置的重要性，同时，也让我们发现数学中一些看似简单的不等式，也可以产生深刻的数学研究和应用。

最后，总的来说，Jensen不等式在数学中具有很大的重要性和应用价值。无论是在理论研究还是实践应用中，它都有着广泛的应用，对于探究一些数学中深刻的问题，以及解决实际问题中很多复杂的计算问题都有着很大的帮助。

2、jensen不等式在数学分析书哪里

Jensen不等式是数学分析中常用的一个不等式，可以用来求出一个函数的凸性和下凸包。通常可以在高等数学或实变函数等书籍中找到相关内容。

在数学分析书籍中，Jensen不等式通常出现在“凸性与下凸包”一章中。在这一章中，会介绍凸函数的定义、性质以及凸函数的判定方法等。

Jensen不等式是指对于一个凸函数$f(x)$和概率分布$p_i$，有以下不等式成立：

$$f\left(\sum_{i=1}^n p_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^n p_if(x_i)$$

其中，$x_i$是任意的实数，而$p_i$表示概率分布，满足$\sum_{i=1}^n p_i=1$。

在实际应用中，Jensen不等式可以用来证明许多函数的下凸包。例如，对于一个次调函数$f(x)=x^\alpha$，可以使用Jensen不等式证明其下凸包为$f(x)=\log x$。

除了在数学分析中的应用，Jensen不等式还具有广泛的应用领域。例如，在机器学习中，它可以用来证明softmax函数的交叉熵损失是凸的；在信息论中，它可以用来证明熵函数是凸的。

总之，Jensen不等式是数学分析中的一个重要工具，可以用来证明许多函数的凸性和下凸包。在高等数学或实变函数等书籍中，可以找到相关的定义、性质以及应用案例。