【苏教版必修一教案】苏教版高中数学·必修2–“直线与平面垂直”教学设计

宫建红（江苏省扬中市第二高级中学）

教学内容解析

本节课是苏教版教材必修2中第一章第二节的内容，属于新授概念原理课.其中直线与平面垂直的概念及判定定理的形成是教学重点.

图1是直线与平面垂直在本节中的位置.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，且后续内容。例如，空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.

通过本节课的学习研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．

教学目标设置

（1）理解直线与平面垂直的定义和判定定理，会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理.

（2）掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，从而体会降维化归的思想.

（3）在定义及定理的探究活动中，发展学生合情推理能力与演绎推理的能力.

（4）经历借助实例、图形思考问题的过程，进一步发展空间观念.

学生学情分析

1.学生已有的认知基础

学生能够感知生活中有大量的线面垂直关系，已经掌握了线线垂直与线面平行的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中化归的数学思想方法.

2.达成目标所需要的认知基础

要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，除此之外，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用类比、化归等数学思想，同时还需要具备较好地观察发现、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.

学生情况：学生大部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整及严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.

3.教学难点及突破策略

教学难点：

（1）运用类比及化归等数学思想方法来研究直线与平面垂直的定义，突破对“任意”的生成和理解.

（2）探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化.

突破策略：

（1）启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段．

（2）引导学生经过直观感知、操作确认、思辨论证的过程形成线面垂直的定义和判定定理.

（3）发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.

教学策略分析

根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下。

（1）教师创设情境，学生列举实例，形成关于线面垂直的直观感知.

（2）教师启发引导，学生明确按照“定义—判定—性质”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策略，即降维化归.

（3）教师以问题串为载体，驱动学生主动参与知识建构及合作探究.

（4）教师分层设计知识应用，引导反思，学生深化理解，形成知识体系.

教学过程

一、 创设情境，建构定义

1.回顾旧知，引入课题

问题1：直线和平面有几种位置关系？

问题2：我们已经掌握了直线和平面平行的哪些内容？

问题3：直线与平面相交中最特殊的一种位置关系是什么？

问题4：我们要研究关于直线与平面垂直的什么内容？

问题5：该怎样研究直线与平面垂呢？

师生活动：通过问题让学生复习已经学过的知识，让学生利用手中的工具摆出“线面相交”的情形，并指出其中最特殊的情况，并进行命名.学生说出要研究直线与平面垂直的哪些内容和怎样去进行研究.

【设计意图】简单回顾直线与平面的三种位置关系和线面平行的研究内容及方法，引出直线与平面相交时的特殊情况，即直线与平面垂直及其研究内容.

2.创设情境，启发定义

情境1：直线与平面垂直在我们的生活中有许多直观的感知，举例说明.几何体中直线与平面垂直形象吗？举例说明.

情境2：有没有与地面不垂直的建筑物呢？举例说明.

问题6：如图2，,为什么感觉斜塔与地面不垂直？

问题7：关于垂直，我们已知的是什么？

问题8：能不能用已知的线与线的垂直关系来刻画未知的线与面的垂直关系呢？

师生活动：学生能够从直观感知入手，通过教师的追问，引起学生思考，刻画出斜塔与地面不垂直的原因，进而抓住线面垂直就是平面内找不到与它不垂直的直线的关键点.

【设计意图】旨在让学生直观感知线面垂直.学生自由举例，列举生活中，几何体中线面垂直的例子.大量丰富的正面例子有助于学生观察不同的例子所具有的共同特征，形成关于线面垂直的直观感知.再借助比萨斜塔的“斜”从反面启发定义.在正反例的对比中更容易抓住事物的本质与核心.

3.验证猜想，建构定义

问题9：一条直线真的能与一个平面内的所有直线都垂直吗？有这样的实际模型吗？

师生活动：通过教师提问：如图3，圆锥的轴所在的直线与底面内所有的直线都垂直吗？学生独立思考，小组交流，汇报.教师再用几何画板软件演示，说明猜想的合理性.

【设计意图】对于定义合理性的解释及猜想正确性的检验，直观演示能起到不可替代的效果.因此通过圆锥的实例，说明一条直线与平面内的所有直线都垂直的状态是存在的，也让学生的认知结构中拥有了关于概念的实际模型.

4.认识定义，巩固深化

问题10：你能给直线与平面垂直下个定义吗？

师生活动：通过辨析定义，即任意的含义是什么？其等价于所有吗？等价于无数吗？通过三种语言表示定义；通用利用定义，求证如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直与这个平面等多个环节进一步认识定义，体会定义中双向叙述的功能.并在作图的同时介绍垂线、垂面、垂足等概念.

【设计意图】对定义进行多角度和深入理解，对数学思维方法的渗透和对研究问题的方法的指导能在教学中达到事半功倍的效果.在学生独立思考后，让学生板演展示和相互评价，让学生得到充分的训练和表达，同时对证明格式提出规范性要求.证明之后，再对题目重新深刻理解，从由直观的判断变为理性的思考，符合学生的认知规律.在对定义的认识和例题的证明中多次使用三种语言转换，也有助于学生空间想象能力的培养.

二、简化定义，获得猜想

问题11：如图4，工人怎样检验旗杆是否与地面垂直呢？

师生活动：通过检验旗杆与地面是否垂直的问题激发学生寻求判定线面垂直的新方法.学生有要简化定义中的任意一条直线为有限条直线的想法.教师进而追问：简化成一条直线行吗？两条直线呢？学生进行思考及辩证.学生能够猜想到一条直线垂直于平面内的两条相交直线就可以得到一条直线垂直于这个平面.

【设计意图】通过询问学生，工人如何检验旗杆是否与地面垂直的？让学生感受到了寻求判断线面垂直新方法的必要性，这又坚定了学生简化定义中“任意一条”的想法，于此同时对学生的每一种想法进行辨析，培养了学生的空间想象能力，而后获得关于线面垂直判定定理的猜想.

三、汇报交流，形成定理

1.直观感知

师生活动：学生带着猜想，寻找辅证的实例.

2.操作试验

师生活动：学生带着猜想，进行实验：

（1）怎样将一本书立在桌面上，使得书脊能与桌面垂直？这样的书至少需要几页呢？

（2）将手中的练习纸折叠，折痕满足什么条件，折痕与桌面垂直？学生进行动手操作，确认猜想.

3.直观演示

师生活动：教师通过几何画板软件演示，进一步说明猜想的合理性,学生进一步增加直观体验.

4.形成判定

师生活动：学生叙述线面垂直的判定定理，并用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的判定定理.教师进行点评与总结.

师：如图5，图6，哪一幅图更具有一般性？说明理由.

师：判定定理也是由线线垂直推出线面垂直.这里的线较之定义发生了怎样的变化？

生1：已经简化为了面内两条相交直线.

师：线不在多，相交则行.现在去判断线面垂直有哪些方法？

生2：可以用定义，也可以用判定定理.

师：这样，除了定义以外，我们就又增加了一个判定线面垂直的方法.在这里，我们可以把线面垂直的问题转化为线线垂直来解决，这充分体现了降维转化的思想.我们解决问题时也要选择最佳方法.

【设计意图】获得猜想是合情推理的第一步，如何让学生在不加证明的情况下，心悦诚服的接受判定定理呢？对此，就要引导学生带着猜想，寻找实例验证，再通过折纸试验和几何画板软件演示双重操作确认，在进一步增强学生的直观感受的同时进行理性思考，最终形成定理.接着同样要求学生用三种语言表示它，认识定理.

四、数学应用，巩固深化

问题11：现在你是工人，怎样检验旗杆是否与地面垂直呢？

【设计意图】判定定理的应用分为三个层次进行。第一层次，让学生理解及记忆定理并进行简单运用；第二层次，通过空间简单位置关系的证明，培养学生逻辑推理能力，重视对学生思考策略的引导和启发，通过教师示范及学生互评规范证明题的书写；第三层次，训练学生灵活应用判定定理和定义，能适当的进行线线和线面位置关系之间的转化.

五、概括总结，分层作业

问题12：本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？今后我们还要学习什么呢？

师生活动：学生思考并回答，教师适当点拨及补充.

【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获. 引导学生主动建构，形成知识体系；预测未来的学习内容，旨在进一步感悟数学思想；规范立几学习，提出能力要求.

课后作业：必做题：第34页，1题（1）（2），3题；第36页，6,7题。

选做题：第37页，10题。

拓展题：运用今天的研究方法，你还能进行其他位置关系的探究吗？

【设计意图】分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求.