【教案的点拨归纳】数学归纳法(第一课)的教学设计与复习

；②如果某一张倒下，要能保证后一张也倒下．特别是对条件②的挖掘，要让学生尽量用数学语言表述：如果第k张倒下，则要使得第k+1张也倒下（即对“某一张”的任意性的挖掘）．

（4）总结：只要满足这两个条件，就可以保证“骨牌可以全部倒下去”．

【设计意图】方法的探究过程，来源于生活实践的经验，开展探索和交流对话，不但使学生体会到知识的形成过程，而且体会到从特殊到一般的归纳方法．让学生觉得非常自然，并体验到“再发现、再创造”的快乐．

【点评】教师再通过生活中的“多米诺骨牌效应”让学生继续确认从有限能够递推到无穷所需要的两个充分条件，让学生亲身经历数学科学方法的提炼过程，方法来源于数学实践，也服务于生活并得到生活的验证．

②“如果第k张倒下，则能保证第k+1张也倒下”相当于“假设当n=k时猜想成立，能推出当n=k+1时猜想也成立”；

“根据①和②知，骨牌可以全部倒下去”相当于“根据①和②知，对于一切

猜想都成立”．

【设计意图】这一环节是本节课的重中之重，如何能从骨牌原理中自然流畅的得出问题的解答，应当是一个出彩点，所以这一环节要做得细致，特别是证明第二步这个命题时，要留足时间让学生思考，力争突破难点．

【点评】教师在这一环节中通过类比“多米诺骨牌效应”中提炼出“方法”的两个条件，将前面提出的数学问题进行完全证明，是否可行，关键在于第二步这个命题是否成立，需要证明它为真，这样才能保证一直能够递推下去．这需要考量教师的教学智慧，此时教师恰时恰点的指导至关重要，才能突破难点，浸润递推思想，让学生真正理解方法的本质．

4.小结原理，初步剖析

（1）结合具体问题的证明过程，让学生归纳出数学归纳法的原理：在证明某些与正整数n有关的命题时，可以采用以下两个步骤：

①证明：当n=1时命题成立；

②证明：假设当n=k时命题成立，那么当n=k+1时命题也成立．

完成这两个步骤以后，那么就可以断定命题对于任何正整数n都成立．

（2）设置问题串，结合框图，逐层剖析，突破难点。

①数学归纳法的适用范围是什么？

②第一步的作用是什么？

③第二步的作用是什么？

④揭示第二步的本质：它是一个命题，“条件”是什么，“结论”是什么，加上k的任意性，所以第二步本质上是证明递推性．

⑤强调两步缺一不可，最后“下结论”．

对数学归纳法剖析的框图如图1所示。

【设计意图】本环节应该是本节课浓墨重彩的一段，如何突破难点，是本节课的重中之重，所以要有层次感，要抽丝剥茧，逐步深入，直到揭示出定义的本质.“问题串”的设置及结合具体数学问题与骨牌进行剖析应该是一个较好的突破口．

【点评】教师引导学生类比骨牌对具体数学问题进行证明，从证明过程中归纳出数学归纳法原理的形式化表达．然后设置问题串，抓住学生思维的起点，引领学生深入思考，再结合框图，逐层剖析，让学生明白第一步是证明奠基性，第二步是证明递推性，这样既突破了难点，又突出了重点．

5.典例精析，评析强化

【设计意图】回扣不完全归纳法得出的结论不一定正确，从而引出必须用数学归纳法进行“补救性”证明的必要性．

（2）请学生来分析题意及解题步骤，主要是让学生明白接下来要证明的目标是什么，关键是证明第二步的命题：条件是什么，结论是什么．

（3）学生活动：先给5分钟左右的时间让学生做，教师进行巡视，寻找一些解题中出现有代表性错误的学生，如“未写①②的”“忽视第一步的”“第二步未写假设的” “第二步未用假设的”等，为后面的点评做准备．

（4）可考虑多角度、多方式进行展示。例如，让学生上台板演和把学生的过程进行投影相结合，并做好追问和点评，总而言之，目的是在应用中深化对方法的理解，特别是对第二步的理解．

学归纳法尝试证明等差数列的通项公式，这样既可以帮助学生熟练运用数学归纳法去解决问题，又可以检查学生对数学归纳法的理解程度，特别是学生在解决问题的过程中必然会出现各种各样的错误，此时教师恰好利用这些错误帮助学生进一步深刻理解数学归纳法的本质，教师的小结也道出了数学归纳法的真谛：找准起点，奠基要稳；用上假设，递推才真；两个步骤，缺一不可．

7.盘点收获，梳理小结

（1）通过本节课的学习，我们发现、归纳并运用了一种新的证明方法——数学归纳法．结合以下几个问题，谈谈你的收获和体会．

①数学归纳法的内容是什么？你是怎么理解的？

②我们是怎么发现和归纳出这种方法的？

③你觉得数学归纳法可以有哪些变式？

例如，n一定要从1开始吗？等等。

④你认为需要继续与同学或教师探讨的问题是什么？

（2）最后，教师画龙点睛，归纳出一首打油诗，让学生齐声朗读：

整数命题问解法，奠基递推融归纳. 两步一论化无穷，方法思想行天下．

将本节课推向高潮，在学生的惊叹声中结束本节课的学习．

【设计意图】结合具体问题来谈收获和体会，有的放矢，让学生回顾本节课的知识和方法；最后画龙点睛，在琅琅的诗歌声中结束本节课，余味无穷．

【点评】本小结既让学生明白数学归纳法的内容，又让学生知道数学归纳法的发生发展过程，还让学生了解数学归纳法的其它变式和提出一些仍不理解的问题，最后让学生在琅琅诗歌声中结束本课学习，带着希望和更深的问题走出教室．

8.分层作业，巩固拓展

（1）基础作业。

《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-2，P132，习题6．

（2）提高作业。

会主席章建跃博士作了现场点评．

1.引入问题新颖别致，有数学味

好的开头是成功的一半．如何引出问题？这是值得我们认真思考．是开门见山式，情境引入式，还是温故知新式？这要由所选择的课题及内容来决定．本节课定位为方法思想课，为什么要引入这种方法（引入新方法的必要性）——这是我们首先要面对的问题．本课通过

从骨牌原理中自然流畅地得出问题的解答，这需要考验教师的教学智慧，这一环节应当是一个出彩点。最后再由这个具体问题的解决，上升到一般的“对一切正整数都成立的命题”的证明——数学归纳法．所以这一环节要做得细致自然，方法的探究过程，来源于生活实践的经验，开展探索和交流对话，逐步抽象为数学表达形式，不但使学生体会到知识的形成过程，而且体会到从特殊到一般的归纳方法．让学生觉得非常自然，并体验到“再发现、再创造”的快乐．

3.方法本质剖析到位，突破难点

很多教师在教授“数学归纳法”时都有这种经验：学生用数学归纳法解题时总是在依葫芦画瓢，但是对为什么要“归纳假设”，为什么要用“归纳假设”，都没能深入理解，甚至于对数学归纳法的可靠性都表示怀疑．这是本节课的难点，所以在这里浓墨重彩，设置问题串，逐层深入，抽丝剥茧，直到揭示出方法的本质，特别是第二步的本质就是“证明一个命题：以n=k时命题成立为条件，去证明当n=k+1时命题也成立的结论”（章建跃博士语）．这样就深化了对数学归纳法的理解，而且也为下面的解题教学（即方法的应用）埋下了伏笔，学生非常明确所要解决的问题是什么．这一环节也是本堂课的一大亮点，对很多教师也应该有借鉴意义．

4.解题教学层次清晰，评析透彻

如何进行解题教学，这也是中学数学教学面临的一大难题．首先，例题的选择就非常考究，本课选择从学生最熟悉的等差数列的通项公式入手，之前我们只是“找到”其通项公式，但未给出其严格的证明，这样学生就有挑战的欲望，而且也想试试新方法是否可行。接着请学生来分析题意及解题步骤，主要是让学生明白接下来要证明的目标是什么，关键是证明第二步的命题：条件是什么，结论是什么。然后是学生活动：先给五分钟左右的时间让学生做，教师进行巡视，寻找一些解题有代表性错误的学生，为后面的点评做准备。最后，让学生上台板演和把学生的过程进行投影相结合，并做好追问和点评．总而言之，目的是在应用中深化对方法的理解，特别是对第二步的理解；最终做到让学生归纳小结出解题步骤，力争做到程序化，这样知识方法就具有迁移性．这样做展示出学生对知识理解的原始状态，教师再进行有方向的引导，既强调了学生的主体地位，又突出了教学具有针对性，而且也体现了对知识方法的理解是一个螺旋上升的过程．

当然，本节课的教学也有很多值得商榷和改进的地方．章建跃博士也提出了一些非常有见地的意见，引起了同行们的思考和共鸣．例如，（1）如何更体现出学生的主体地位——教师应该讲多少更合适？（2）如何落实面向全体学生——是否有人举手就喊他回答问题？（3）如何评价学生作业——教师直接修改好不好？

总之，通过本次大赛的磨练，特别是章建跃博士的精彩点评，让笔者受益匪浅，这是一笔宝贵的人生财富，需要慢慢消化和认真反思．在此，特别感谢人民教育出版社资深专家章建跃博士的亲自指导，特别感谢重庆市教育科学研究院张晓斌老师的指导和帮助，还要感谢学校教研组全体同仁的辛苦付出和无私帮助。

点评

本课是“2014年全国高中数学青年教师优秀课展示与培训活动”的唯一一堂现场展示课，获得了参会教师的好评，取得了圆满成功，这离不开人民教育出版社章建跃博士的悉心指导和重庆一中高中数学组众多教师的精心打磨，当然也与张志华老师本人扎实的数学教学功底与一路艰辛努力是分不开的．本人在现场亲耳聆听并观摩了这堂课，觉得这堂课有如下一些亮点值得与大家一起分享，也存在个别瑕疵需要今后不断改进．

1．突出数学归纳法引入的必要性和产生背景

人们对某一事物的探求欲望和兴趣的产生，往往来源于是否渴求和需求得到该事物．执教者一开始就给学生抛出一个具体的基本的递推数列问题，让学生先猜后证其通项公式．此时学生运用前面学习过的合情推理，容易得出数列的通项公式，但是运用前面所学过的所有严格推理方法，都无法证明通项公式对一切正整数都成立，原来的知识不够用了，解决不了，怎么办？这时在学生头脑中形成认知冲突，自然产生需要探求新事物新方法的欲望．教师再引导学生反思原始的猜想过程，通过式子的结构特征的形式化表达，提出一般结构特征：如

为了解决一般的数学问题，以前的数学方法都行不通了，最好的办法就是回到学生最熟悉的背景去研究．本课教师抓住学生熟悉的“多米诺骨牌效应”，引导学生进行分析，进而得出骨牌全部依次倒下的两个充分条件．然后运用类比思想，对学生猜想递推数列通项公式的过程进行再创造，再发现出能够证明对一切正整数都有数列通项公式成立的两个充分条件，关键在于第二步的证明与认识．本课教师在第二步的证明与认识上，给学生留有一定时间让他们自主探究，初步认识第二步是一个命题，需要证明，即以n=k时命题成立为条件，去证明当n=k+1时命题也成立的结论．这样本课教师就很好地破解了数学归纳法的难点，浸润了递推思想，突出了数学归纳法的本质，自然给出了数学归纳法原理的形式化表达．

3．强化数学归纳法原理的深度剖析与例证辨析

数学归纳法原理一提出，我们就要对它进行剖析，帮助学生结合具体例子深化理解．本课教师设置系列具有启发性的问题串，抓住学生思维的最近发展区，引领学生深入思考，再结合框图，逐层剖析，让学生清楚数学归纳法的第一步是证明奠基性，第二步是证明递推性，这样既突破了难点，又突出了重点．教师光进行理论上的说教是没有实际效果的，光说不做是不行的．因此，本课教师选择了学生最熟悉的等差数列通项公式，让学生第一次运用数学归纳法尝试证明，展示学生对数学归纳法原理理解的原始状态，这样学生在解决问题的过程中必然会出现各种各样的错误，这时本课教师恰好利用了这些典型错误再一次辨析数学归纳法原理，帮助学生进一步深刻理解数学归纳法的本质，并引领学生总结出了数学归纳法的真谛：找准起点，奠基要稳；用上假设，递推才真；两个步骤，缺一不可．

4．构思精致的课尾总结与收尾艺术

本课小结别具一格，与众不同，仍然通过问题串的形式让学生回顾数学归纳法原理的发现与提出过程以及数学归纳法原理的内容，了解数学归纳法的其它变式和提出一些仍不理解的问题，再一次深化对数学归纳法原理的理解与掌握．最后赋诗一首，把数学原理诗意化，高度概括总结，又一次通过诗的韵味再次让学生把握数学归纳法原理，在琅琅诗歌声中结束了本课学习，让学生怀揣希望，带着更深的问题走出教室．

5．多次显现基本素材和原始状态的教学

本课教师始终抓住数学归纳法原理的本质与核心进行教学，不在数学归纳法繁难的技巧证明上做文章，选题选材基本，这也与不少教师对数学归纳法的教学认识不同．一开始引入的递推数列问题是学生前面做过的基本问题，课中所选“多米诺骨牌效应”是学生最熟悉的背景材料，课中例题“用数学归纳法证明等差数列通项公式”也是学生熟悉的基本数学公式，课后分层作业，是帮助学生巩固基础知识和基本技能的．在重、难点处，本课教师采取回到原始状态去思考、去发现、去创造的教学。例如，反思原始的猜想过程，提出一般结构特征：

出“假设当n=k时猜想成立，能推出当n=k+1时猜想也成立”并完成第二步的证明．

二是教师在课堂中要及时发现学生的问题并帮助学生改正错误，正确处理好“预设”与“生成”的关系．在让学生第一次尝试“用数学归纳法证明等差数列通项公式”时，学生必然会出现各种原始错误，这时教师应该抓住机会，在课堂中加强巡视，及时发现学生出现的典型错误并思考如何帮助学生改正错误，然后展示学生的做法，先让学生们自己评，最后教师再点拨．如果学生出现的类似错误不完整，教师再补充例子进行辨析；如果学生在例题的证明时已经自然生成了这些错误，就不用再抛出强加于学生头上的两个反例来辨析了，这样的辨析才是自然真实的，才更能令学生信服，预设是“死”的，生成是“活”的，教师要不断提高自己课堂的临场应变能力，形成自己的独特教学艺术．