【简单线性规划的教案】两个变量的线性相关性

让学生有更多的时间来探究及交流，便于达成教学目标．图形计算器在本课的应用包括如下几个地方。

（1）搭建无线网络平台，实现数据的实时上传与共享，即借助图形计算器的“即时调查”功能，现场收集学生的身高及体重数据，并将汇总后的数据实时下发给学生，一方面为本课学习营造一个真实的案例，另一方面也避免了大量数据的手工逐一输入．

（2）运用图形计算器的“图形”功能，快速绘制散点图，从散点图中发现样本点大致分布在一条直线附近．在此基础上，让学生凭直观感觉，在散点图中任作一条与样本点整体上最接近的直线，并通过“坐标与方程”功能得到该直线的方程．经过操作学生自会发现，每个人眼中的直线都不一样，到底哪一条直线才是最接近的需要建立起量化标准，用数学语言来精准度量，从而很自然地触发讨论，最终引出最小二乘思想．

（3）利用图形计算器，进行快速计算．包括在“列表与电子表格”中调用sum()函数求和；利用“统计计算/线性回归”功能直接求出一组数据的线性回归方程；尤其值得一提的是，在“计算器”页面中调用completesquare()函数可以实现对多项式的快速配方，这样我们就可以选取三个特殊样本点，对目标函数进行配方，帮助学生更好地认识系数公式的来历．

教学过程与设计

1．创设情境，激发思考

教学伊始，教师借助图形计算器（笔者教学中使用TI-Nspire™ CM-C CAS中文彩屏版）的“即时调查”功能发起现场调查，收集班级学生的身高体重数据．学生在手持端输入数据并选择提交．教师将数据汇总后传输给学生．学生接收数据，绘制散点图（以身高为x轴，体重为y轴），并思考回答下列问题：

（1）体重与身高间是否具有一定的相关性？

（2）体重和身高之间是不是函数关系？随着身体增高，体重是否一定增大？

（3）假设我们的抽样方式合理，如何根据样本数据推断某一特定身高（例如，175cm）的高中生的大致体重？ 能否估计身高每增加一定高度（例如，10cm），体重大约增加多少？

（4）如果要用一个函数模型来近似地描述这两个变量之间的相关关系，你会选择哪种常见的函数类型？

【设计意图】现场搜集数据，创设与现实生活密切相关的问题情境，激发学生学习兴趣，同时回顾相关关系的相关概念及其与函数关系的区别，引导学生用函数模型来近似描述相关关系，从而达到定量研究的目的．

2．数学实验、提出问题

引题：如图1所示，在直线l1和l2中，哪一条能更好地近似表现x，y之间线性关系？ 为什么？

生：l2．因为它与样本点最接近．

师：l2是与某一个样本点最接近吗？

生：不是，l2只是与所有样本点在整体上最接近．

【设计意图】以直观的例子让学生明确：只有在整体上与样本数据最接近的直线才能较好地近似变量间的真实关系．

实验：根据直觉，在刚才绘制的关于体重—身高的散点图中添加一条你认为在整体上最接近样本点的直线，并求出该直线方程．

实验操作：以TI-Nspire™ CM-C CAS为例，按“文档”→选“4：插入”→选“7：数据与统计”；横轴变量名选择“身高”，纵轴变量名选择“体重”，即可得到散点图；在散点图页面，按“菜单”→选“4：分析”→选“2：添加可移动线”，然后移动光标，拖动直线到自认为最接近样本点的位置即可，相应的直线方程实时显示．

学生动手操作，教师随机展示几个学生的实验结果．学生观察后会发现每位学生所认为的最接近样本点的直线都不一样，由此产生到底哪条直线才是最接近样本点的疑惑学生带着这样的问题开启了知识探究之旅．

代表性的样本是必要的，由此复习随机抽样的重要性，并体会用样本估计总体的思想．

5．知识总结、作业分层

师生共同回顾本课所学知识、方法与思想．教师明确点出整个线性回归的流程本质上讲是一种数学建模的过程．

作业布置

略．

参考文献：

[1] 刘绍学．普通高中数学课程标准实验教科书·数学3必修 [M].北京：人民教育出版社（A版）．2007.

[2]连春兴、方文茹．关于线性回归教学的一点建议[J]．数学通报．2007（8）：19-20.

[3] 严兴光．两个变量的线性相关教学设计（第三课时）．中小学数学（高中版）．2010（12）： 29-34.