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《数学家讲解小学数学》，伍鸿熙著，赵洁、林开亮译，北京大学出版社，2016年

《数学家讲解小学数》简介

作者 | 赵洁 林开亮

数学课要讲得孩子们有兴趣。孩子们都是有好奇心的。他们对数学本来也有好奇心。可是如果教得不好，把数学讲得干巴巴的，扼杀了好奇心，数学就难了。

陈省身（见【28】）

如果我们希望得到更多更好的社会支持，那么作为团体，我们必须做得更好。特别的，我们必须培养出更好的数学教师。我要非常谨慎地说，促使我决定成为职业数学家的最重要的人是 Lottie Wilson，她是我从前的高中数学教师。Wilson 夫人让人理解到她的课有一个本质的特征，她明白数学的崇高和神秘，她还知道，得到正确的答案无法用别的来代替。

P. A. Griffith（见【12】）

当然读者要问，是否必须要求学生学习正确的数学？要知道，不正确的数学是非理性的产品，不是从按部就班、有迹可循的思路得到的结果。我们不可能要求中小学生学习这种不合情理的数学。譬如说，要让学生掌握“负负得正”而不讲逻辑推理，唯一的办法就是说服学生某些数学只能死记硬背不能推理。一旦有了这个心理状态，学生难道还有希望去学习高深的数学吗？又譬如说，一般的课本要求学生了解“变量” 是什么才能学习代数。在这种情况下，学生们不免产生一种错觉，每见一个符号就提心吊胆，以为这个符号一定是一个在纸上跳动的“变量”。这种数学是能够让学生学习的吗？

伍鸿熙

概述

近些年来，中小学的数学教育引起了世界各国的数学家的广泛关注，其中的代表者有：俄国的阿诺尔德（Arnold【2，3】），美国的巴斯（Bass【5，6】），匈牙利的罗瓦兹（Lovász【16】），中国的吴文俊（【26】）、姜伯驹（【14】）等。这里我们要介绍的是美籍华人伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）关于中小学数学教育的理念与工作。

为了提高美国大、中、小学的数学教育水平，加州大学伯克利分校的知名数学教授伍鸿熙十年前正式转行投身数学教育， 特别是为中小学数学教师做师资培训。伍教授的目标很明确， 就是要让数学老师教好数学， 最终让学生明白数学是能够学懂的。近十余年里， 伍教授发表了多篇关于数学教育的文章， 见诸数学教育的各种期刊杂志、 会议文集。一些代表性的文章可见于伍鸿熙教授的个人主页，∼wu.

近二十年来，伍教授对中小学数学作了系统的剖 析，融合师资培训的经验，将其成果总结成三套师资培训专著《数学家讲解小学数学》、《初中代数序曲》与《初中代数》、《高中数学教程 I-III》，分别适用于小学、初中、高中数学教师，真可谓“廿年辛苦不寻常”。下面我们就来简单地介绍一下这些专著。

《数学家讲解小学数学》（【19】）主要介绍了小学数学教师应该掌握的关于数的一些理论，包括自然数、分数、有理数、无理数以及涉及到的某些初等数论，分别详细地讨论了这些概念及其运算性质。在首都师范大学数学科学学院李庆忠教授的鼓励和丁洁、王盼盼、 王丽芳等同学的帮助下，笔者已将《数学家讲解小学数学》翻译成中文，并由北京大学出版社出版。本文第三节将对此书展开详细的介绍与评述。

《初中代数序曲》（【20】）从分数讲到初等几何， 目的是要把初中代数所需要的一切知识都说清楚。特别值得一提的是，书中对初等几何的讨论，开始尝试用直观的方法解释了“全等”与“相似”的基本概念， 然后用同样直观的方法解释了两个三角形“相似”的刻划条件。这个处理初中几何的方法，是目前美国国家统一核心数学标准中从初二到高中的几何标准的基础。

《初中代数》（【20】）介绍初等代数的基本概念， 包括正确运用符号、线性方程及其图形（为什么是一条直线）、函数的概念、一次与二次函数及其图形，等等。值得指出的是，这部分说明了，为什么懂得恰当地运用符号就可以明白“变量”是一个惯用的名词而不是一个数学上的概念。另一方面，这部分也指出了， 为什么配方的技巧是了解二次函数所有问题的基本工具。

《高中数学教程 I-III》（【21】）内容涵盖了分数、负数、初等数论、代数（多项式、指数、对数、复数、 代数基本定理）、几何（全等、相似、平面三角形的几何、圆的几何、面积与体积）以及初等的微积分。

2010 年 6 月，美国颁布了国家统一核心数学标准（Common Core State Mathematics Standard，以下简称CCSMS），这也是伍教授自始至终参与完成的。

2011 年 9 月，伍教授在首都师范大学为数学院的师生做了题为“高观点下的中小学数学”的系列讲座，其间笔者有幸与伍教授近距离接触，从而对伍教授关于数学教育的想法和工作有了进一步的了解。这里笔者 想谈谈我们的一点心得，与各位读者分享一下我们的 点滴收获。本文旨在引起读者对伍教授所做工作的兴趣，最终目的则是希望引起教育同行们对数学教育的 关注。

1 伍教授其人

伍鸿熙，1940 年出生于香港，1961 年在哥伦比亚大学取得数学学士学位，1963 年在麻省理工学院取得数学博士学位。他先后担任过麻省理工学院的研究员、 普林斯顿高等研究院成员，1965-2009 年任教于加州大学伯克利分校，2009 年至今是该校名誉退休教授。1997-2005 年期间，伍教授与加州政府就数学教育进行了全方位的合作。

伍鸿熙教授，图片来自 ma

2000-2001 年任美国国家教育进展评估数学指导委员会委员，2006-2008 年担任美国总统的国家数学顾问组的成员。他目前是2011 数学与自然科学项目 TIMSS （Third International Mathematics and Science Study，第三次国际数学和科学评测）评审委员会成员。

伍鸿熙是知名的几何学家，是陈省身先生在伯克利所营建的几何王国的核心人物之一。他与学生 R. E. Greene 合作，对复流形的曲率与函数论关系作了精细的研究，得到了许多深刻的结果。受陈省身先生关于多复变函数的 Nevanlinna 理论几何化观点的影响，他在微分几何的框架下重新诠释并进一步发展了 Ahlfors-Weyl 关于全纯曲线的 Nevanlinna 理论，并形成专著《全纯函数的值分布论》，作为普林斯顿大学 Annals of Mathematics Study 丛书第 64 号出版。他还与萨克斯（R. K. Sachs）合作写了一本《广义相对论：给学数学的人》以及《广义相对论和宇宙学》，前一本书作为GTM 丛书第 48 号出版，并且有萧欣忠先生的中译本（台北晓园出版社出版）。

在陈省身先生的带动与鼓舞下，伍教授多次回国讲学，其讲义经整理出版的有《黎曼几何引论》、《黎曼几何选讲》、《紧黎曼曲面引论》、《微分几何中的Bochner 技巧》。这些著作脍炙人口、引人入胜，深受读者欢迎，培养了广大本科生和研究生对几何的兴趣， 掀起了国内学习、研究几何的阵阵热潮，造就了一批又一批年轻的几何学者。

从 1992 年起，伍教授开始关注数学教育工作。他注意到，当时的中小学数学教育体系、教育方式以及教材中存在一系列问题。由于教师不能给予正确的指导，学生受不到正确的数学教育，以致逐渐丧失了学习数学的信心。作为数学家，他认为仅仅提出这些问题是远远不够的，关键是要想办法解决这些问题。如果仅仅指出问题而不提出解决问题的方法，那么隐含 的意思就是这些问题很容易解决。但事实上，对于数学教育来说，我们必须重新思考数学知识方面存在的种种误区。如果数学家想致力于改进数学教育而不仅仅是想引发争论，那么他们就应该努力针对每个问题进行解决。正是这种想法促使伍教授逐渐转行走上了数学教育之路。

从 2000 年起，伍教授开始在美国组织一年一度的为期三周的中小学数学暑期师资培训，这一项目陆续受到了加州政府、洛杉矶教育办公室、Stephen D. Bechtel. Jr. 基金会的资助。这种师资培训以数学知识为主要载体，经受住了时间的考验，逐渐得到了大众 的认可。十多年来，受到培训的教师的人数已成百上千，并且还将有更多的教师因此而受益。

2008 年，在从事数学教育近十年之后，伍教授在第四届世界华人数学家大会中学数学教育论坛上（见【18】）谈到了他的三点心得：

第一，数学教育是“数学工程”，与“数学”有异；

第二，数学家如要改善数学教育，需要作建设性的批评；

第三，数学家应该致力于师资培训。但要有收获，就需要对中小学数学有深切的认识。

2 伍教授谈中小学数学教育

存在的主要问题

伍教授认为，美国中小学数学教育的问题主要来自于三个方面：教师、教材和师资培训。同样的问题在大陆也相当严重，下面我们就分别来谈一谈这三个方面的问题。

2.1 教师方面的问题

伍教授认真思考美国中小学数学教育的问题根源所在，得出这样一个惊人的结论（见【29】）：“在美国，中小学数学教育的最大问题是，很多中小学数学教师不懂数学。”伍教授举例说，有的数学教师甚至不明白定义和定理之间的差别。根据在三大洲（北美洲，亚洲和大洋洲）进行的教师培训的经验，他发现，这种情况其实很普遍。如果教师对他所讲授的学科缺乏很好的理解（见【23】），而妄图“以其昏昏使人昭昭”，那么后果可想而知，他根本不可能教好学生。反之，如果教师对所教的科目有透彻的了解，他本人的脑海中有一幅整体上清晰的图景，那么他教好这门课的可能性就大得多。举例来说，美国当代著名数学家格列菲斯（Griffiths） 就是因为有幸遇到了这样一位出色的高中数学教师而对数学发生兴趣并最终走上了职业数学家的道路（见本文标题下的第二段引用），在另一个场合，他这样说道（见【8】的结尾部分）：

在当今世界，科学知识尤为重要。许多工作都要求具备定量的、分析的技能。科学所教给你的事实就是实事求是（evidence- based reasoning）的精神，而我们正是在这一点上失败了。要成为本国的好公民，你需要对科学有一般的认识。

看看进化论的争辩、看看新闻和报纸上的种种资料，你会发现：事实上，对于进化论的大意以及如何理解新闻报纸上的资料，许多人连最模糊的观念都没有。造成这一问题的部分原因在于中小学的教学。教学体系的教师主要来自于教育院校。他们更多地停留在教学技能的层面而并没有深入到教育的本质部分。一个数学教师，哪怕是一个小学数学教师，都应该对这个科目有一个硕士水平的了解。唯有具备了如此深刻的了解，你才能用一种简单的方式更好地去教初等的内容。否则， 你可能会弄得不必要地过分复杂。威尔逊（Wilson）夫人，我的第一个数学教师，绝对是一个富有天分的数学家，这一点使她成为一个伟大的教师。

格里菲斯是幸运的，但幸运往往只属于少数人。事实上，好的数学教师并不多见。让我们来看看世界著名 的“杂交水稻之父”袁隆平的经历（见【27】）：

我在学习方面喜欢凭兴趣，从小学到中学直到大学都是这样：对喜欢的功课，就特别注意听讲，还读这方面的参考书，成绩就很好；不喜欢的，就考 60 分，只求及格就行。我喜欢地理、外文，化学我也喜欢， 我考试就拿高分。我最不喜欢数学，得 60 分就心满意足。记得当时学“负数乘以负数得正数”时，我很不理解，说正数乘以正数得到的是正数，这还好理解，为什么负数乘以负数也得正数？我就问老师为什么， 老师不讲，只要我呆记。我不懂，那怎么呆记呢？要讲道理呀！从此我便对数学不感兴趣了。

可以想见，像袁隆平一样，绝大部分学生遇见这样的教师唯有“敢怒不敢言”（正如伍教授在做报告时所说的）。长此以往，学生不仅会泯灭对数学的兴趣，甚至会丧失对教师的信任。可以说，学生学不好数学，教师应负大部分的责任。再来看袁隆平的例子，事实上， 不懂“负负得正”的中小学生何止他一个，最有趣的一个例子居然是后来成为大数学家的吴文俊先生，这也是袁隆平透露给我们的（见【27】）：

记得有一件十分有趣的事，就是这次到北京，中央电视台对我和吴文俊先生做一个专访。这是我们两人头一次见面，但却是一见如故，相谈甚欢。……我说起小时候数学成绩不好，初中时向老师提问为什么“负负得正”，到现在还是没有弄清楚。吴老听后大笑起来。后来听说，原来他老先生在中学时对“负负得正”也是很不理解的。结果呢，他知难而进，成了大数学家。

由此可见，“负负得正”的问题绝非个人案例。事实上，《数学家讲解小学数学》第 29 章（这一章的标题就是负负得正）开篇的一句就是：“可以说，在中小学数学中，学生问得最多的问题就是负负得正的问题。” 据笔者所知，这个问题不仅仅是学生的问题，也是许多中小学数学教师的问题：他们根本无法向学生解释清楚为什么“负负得正”。

2.2 教材方面的问题

伍教授指出的第二个问题是中小学数学教材中存在的各种问题：基本概念缺乏清晰的定义、数学推理论证含糊不清、数学符号的使用不恰当、内容设置缺乏整体的把握等。伍教授在【29】中说道，“中小学课本不及格，几乎完全不是数学。……美国的中小学课本几乎没有定义，2 除以 3 弄不清，分数学不了，数学的基本精神没有了。”同样的问题也暴露在大陆的中小学数学教材中。事实上，早在 1980 年代，著名数学家苏步青教授就曾指出合理编写中学教材的重要性，他在【17】中说道：

其次，要做好教材的编写工作。教材是进行教学的工具。……我把美国、德国、俄国、日本等国家的中学数学和理科课本翻阅了一遍，觉得有些地方值得借鉴。现在， 我国中学数学和理科教材，比较重视基础知识和基本技能，注重启发学生的智力和培养学生的能力，这是好的。但是，有些内容陈旧，需要更新；有些内容浓缩、跳跃， 如中学代数，把几何、三角混合编排；不少教师反映，按这样的顺序讲课不习惯。因此，编写教材也要广泛地征求中小学教师和科研部门专家的意见和建议，进行适当修改，编出一套比较理想的教材。

2.3 师资培训方面的问题

当然，对于教师和教材中出现的问题，我们不能简单地将责任全部推卸给教师与编者，而是要追究到他们所接受的教育上。伍教授指出（见【29】）：“不论是职前的还是在职的对中小学教师的师资培训，到目前为止，常常文不对题，教师们学到的数学与他们教的数学离题万里。”如果教师自身所接受的培训不完善不合理、甚至带有根本性的错误，那么他们误人子弟就在所难免了。

首先，职前的师资培训，也就是大学里为师范生所开设的课程，通常只涉及高等数学，如微积分、线性代数、解析几何、抽象代数等等。这些课程讲解的都是正确的数学知识，具有完整的理论体系，强调精确的逻辑推理，有助于教师更深刻地理解数学。但是， 未来的教师不仅要了解高等数学，更要学会给中小学生讲解他们听得懂的(acceptable) 初等数学。我们仍用“负负得正”来说明。假定我们的出发点是分配律，那么“负负得正”就是其必然推论。伍教授在【22】的一篇附录中提到，在大学水平下，可以对所有的实数给 出一个逻辑严密的证明：

我们首先来证明，对于任意实数 x 和 z 都有 (−x)z =−(xz)。注意到如果一个数 A 满足 w + A = 0，那么 A = −w。现在如果 A = (−x)z，由分配律意味着 xz + A = xz + [(−x)z] = (x + (−x))z = 0 · z = 0 。所以，事实上有 (−x)z = −(xz)。对于给定的 y， 如果我们令 z = −y， 这就推出(−x)(−y) = −(x(−y))。

现在设 B = (−x)(−y)，要证明 B = xy， 只需要证明 xy − B = 0。这是对的，因为xy − B = xy − [−(x(−y))] = xy + x(−y) = x[y + (−y)] = x · 0 = 0。这就是我们要证明的。

这个证明无懈可击，但是却因为太抽象了而难以为中 小学生所理解。作为比较，读者可以在本文第 3 节找到负负得正的一个初等证明。

再如，两个分数 和 的乘法是 。从抽象代数的立场来看，这个公式完全是一个定义。这个公式使得我们可以在一个整环的分式域上引进乘法结构，确定了 和 的乘积为 。但是，如果从中小学的眼光来看，这个公式则是一个大定理。因为中小学生根本不知道什么是整环，什么是其分式域。他们只懂得两个整数相乘的含义（例如 ）。所以我们要从这个出发点去定义两个分数的乘积。然后再用这个定义去证明乘积公式 。这是一个太平凡的证明！ 所以，如果在中小学数学中我们说 是一个定义，那就大错特错了。这就是不正确的数学的一个典型例子。

由上面两个例子可以看出，“正确的中小学数学”与“正确的抽象数学”可能有天壤之别。目前在讨论中小学数学时，许多师范类专业学生对“数学正确性” 的了解，还只停留在“正确的抽象数学”的阶段，而对“正确的中小学数学”一无所知。所以，大学里的师范类数学专业需要设置专门的针对性课程，帮助未来的教师更好地讲授初等数学。对此，他打了一个巧妙的比方：拉丁语是法语的起源语言，而且比法语更复杂。 那么为了造就一名好的小学法语教师，难道让他们只学习拉丁语就够了吗？

此外，大学的数学师范类课程中通常也开设了一 些由教育学方面的教师讲授的教学方法类的课程。伍教授认为，这些教育理论确实有必要学习，但更好的办法应该是，把要教的正确的数学知识融入到这些理论框架中去。这就要求，数学界与教育学界一起合作共同设置合理的课程，确保未来的数学教师既对数学有深刻的理解，又能懂得如何正确地讲授中小学数学。

其次，在职教师的师资培训也是一项巨大的工程。 多年来，数学师资培训里充斥了复杂的教育理论、课堂教学策略、教具使用、教学效果评估等等。这些对于教学固然重要，但最重要的还应当是所讲授的知识本身：要确保教的是正确的数学。许多在职的数学教师多年积累下来的教学经验大多是基于不合理的数学（参见本文标题下第三段引言），所以，更有价值的师资培训应当以正确的数学知识为主要内容。（未完待续）

左起：伍鸿熙教授、林开亮、赵洁、王盼盼（由伍鸿熙夫人Kuniko摄于首师大数学院）

【参考文献】

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[26] 吴文俊，大国对数学教育应有的态度，《上海教 育》，2011 年 17 期。

[27] 袁隆平、辛业芸，《袁隆平口述自传》，湖南教育 出版社，2010 年。

[28] 张奠宙，陈省身谈中国数学教育，《高等数学研 究》，2005 年第 02 期。

[29] 张英伯，与伍鸿熙教授座谈摘要，《数学通报》，2006 年第 45 卷第 7 期，p1。

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