【积分的面积为什么不是ds】不再害怕积分——积分就是求面积

这是《机器学习中的数学基础》系列的第14篇，也是微积分的第7篇。

前面几章我们都是在讲各种函数的求导，也就是求微分。今天开始我们将会介绍微积分的另一半——积分。

在正式介绍之前，我们还是先来看一个小例子。假设有一辆汽车以速度v从A点匀速行驶到B点，所用时间为t，那么汽车行驶过的距离s是多少？很简单，距离=速度x时间，s=vt。用图像来表示就是：

如图所示，我们所求的距离s就是绿色部分的面积。注意，我们把距离转换为了面积。好，现在我们的问题升级了。假如汽车不是以匀速行驶呢？也就是说，假设汽车从A点启动，到B点停止，期间速度v在一直变化，所用时间t，此时汽车行驶过的距离s又是多少呢？别急，我们还是先把v-t的图像画出来：

如上图，我们要求的距离s，就是v和t围成的绿色部分的面积。因为速度v在不断变化，好像我们无从下手。这里我们先假设汽车在某一段时间dt内的速度不变，一直是v(t)。用图表示如下：

在上图中，我们把时间t等分为很多段，每一小段的都是dt，在dt这段时间内，我们就假设汽车以匀速行驶，速度是vt。也就是说，我们要求的面积现在被分割成了一个个的小长方形，每一个小长方形的面积是vt*dt。接下来就要发挥我们的想象了，当dt越小，那么切分的长方形的面积之和就越接近于曲线下的面积。当dt→0时，我们就认为小长方形的面积之和就是曲线下的面积。这里我们用拉长的s来记录曲线下的面积：

上式就表示从0到t的这段时间内，所走过的距离为v(t)*dt的和。好，现在面积已经表示出来了，那到底该怎么计算呢？

别急，我们再画一个图，是距离s和时间t的图像：

很容易得到，距离s的导数就是速度v（切线代表速度）。再看下用积分表示距离s的式子，现在我们是知道了速度v，想要求s。也就是说，我们想知道，哪个函数的导数是v呢？

举个具体的例子会更直观一些，我们假设速度v的函数是v=-t²+10t。现在我们要求的就是，什么函数的导数是-t²+10t呢？我们挨个来看，已经知道的是t³的导数是3t²，现在是-t²，我们只需乘以-1/3即可，也就是说-t³/3的导数就是-t²。同理，我们已知t²的导数是2t，那现在是10t，我们只需乘以5即可，也就是说5t²的导数就是10t。综合一下，我们说-t³/3+5t²的导数就是-t²+10t。但这还没完，我们注意到-t³/3+5t²+C的导数也是-t²+10t，这里C是一个常数，常数的导数为0。因此，我们可以认为-t²+10t的原函数就是-t³/3+5t²+C。

好，我们的距离函数s已经求出来了，即s(t)=-t³/3+5t²+C。那我们想求t从0到10这段时间内所走过的距离，该怎么求呢？很简单，分别把t=0和t=10代入s(t)中，然后相减即可。即所求的距离为s(10)-s(0)，这里我就不计算了，大家可以自行求解。

我们把上面的整个过程再用公式总结下，如果有F'(x)=f(x)，那么就有：

其中，求解原函数时产生的常数C，在相减的过程中就抵消掉了。

最后，假设我们给定任意一个指数函数axⁿ，则它的原函数为：

好了，这就是今天的全部内容，欢迎留言讨论。