【旋转体表面积为什么是ds】史话牛顿和莱布尼茨发现微分与积分的互逆运算关系

1现代数学的兴起

近代数学的兴起始于16世纪，首先代数从天文学中分离出来，代数从天文学中分离出来，透视法生成射影几何，代数的发明改进了计算，但其主要成果应该是解三次和四次代数方程的突破，代数的符号化。

2 解析几何的诞生

进入17世纪以后，各式各样的数学理论和分支如雨后春笋般茁壮成长。从本质上讲，近代数学是关于变量的数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。例如，机械的普遍使用引发了对机械运动的研究；由贸易带动的航海业的发展要求更精确和便捷地测定船舶的位置，这需要研究天体运动的规律；武器的改进则推动了弹道问题的研究。所有这些问题都表明，对运动和变化的研究已成为自然科学研究和数学研究的中心问题。

变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。作为几何学的一个分支，解析几何的基本思想是在平面中引进坐标的概念，因此它又被称为坐标几何。用解析几何的方法，我们可以将任何一个形如f(x,y)=0的代数方程（通过方程的解）与平面上的一条曲线对应起来。这样一来，一方面，几何问题也就可以转化为代数问题，再通过对代数问题的研究就可以发现新的几何问题。另一方面，代数问题也就有了几何意义的解释。

3 微积分学的先驱

微积分特别是积分学的萌芽，可以追溯到古代。面积、体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的问题，在古代希腊、中国和印度的著述中，不乏用无限小的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。其中包括阿基米德和祖冲之父子，他们成功地求出了球的体积；芝诺的悖论则表明，一个普通的常量也可以被无限划分。在微分学方面，阿基米德和阿波罗尼奥斯分别讨论过螺线和圆锥曲线的切线，但这些都只是个别的或静态的。

微积分的创立，主要是为了解决17世纪面临的科学问题。17世纪上半叶，欧洲接连取得了天文学和力学领域的重大进展。首先是荷兰的一位眼镜商发明了望远镜，得知这一消息的意大利人伽利略（Galileo Galilei, 1546-1642）迅速造出了高倍望远镜，他用望远镜发现了太阳系的许多不为人知的秘密，从而证实了15世纪波兰天文学家哥白尼（N.Copernicus, 1473-1543）的“日心说”是正确的，但这一成就给他带来的是一系列灾难，教会的审讯和迫害导致他双目失明，最后郁郁寡欢而亡。与此同时，比他小7岁的德国天文学家开普勒（J.Kepler, 1571-1630）在获取丹麦前辈及同行第谷（Tycho Brahe, 1546-1601）的观察数据后，用更精确的数学推导过程证明了“日心说”。

哥白尼也好，第谷也好，都以为行星的运动轨道是圆的（伽利略也未曾否定这一点），开普勒的第一行星运动定律却认定“行星的运动轨道是椭圆的，太阳位于该椭圆轨道的一个焦点上”。据说有一次他买东西，对商人们粗糙地估计酒桶的体积十分不满，因而努力找到了旋转体的体积计算方法，从而把阿基米德发明的球体积公式做了一般的推广。开普勒所用的方法正是积分学中的“微元法”。用现代数学语言来说，就是用无数无限小的元素之和去求取曲边形的面积和旋转体的体积。

相比这下，意大利人卡瓦列利（B.Cavalieri, 1598-1647）对数学的研究更为专一，他一生的主要成就就是发展了所谓的“不可分量”理论，即线、面、立体分别是由无限多个点、线和平面组成。不过，卡瓦列利也仅能求出幂函数x^n的定积分，这里n必须是正整数。英国数学家沃利斯则考虑把n换成分数p/q，但他仅得到了p=1时的结果。

沿着微积分的路线追溯，我们也可以追溯微积分理论发现之前三位前辈的工作，他们是笛卡尔、费马和巴罗。笛卡尔和巴罗（I.Barrow, 1630-1677）尝试求一般曲线的切线，分别采用了被后人称作“圆法”的代数方法和“微分三角形”的几何方法，费马则是在求函数的极值时采用了微分学的方法，唯一的差别是符号不同。实际上，他已经意识到，用这种方法可以求出切线，但因为是在写给梅森神甫的信里，故只是意味深长地说了一句，“我将在另外的场合论述”。可以说，费马是最接近微积分理论的一位。

4 牛顿的微积分

17世纪所面临的新的科学问题，与微积分的关系非常密切。例如，曲线的切线既可以用来确定运动物体在某一点的运动方向，也可能求出光线进入透镜时与法线的夹角；函数的极值既可以用来计算炮弹最大射程的发射角，也可以求得行星离开太阳的最近和最远的距离。此外，还有这样一个问题：已知物体移动的距离可表示为时间的函数，求该物体在任何时刻的速度和加速度。可以说，正是这个并不复杂的动力学问题及其逆问题促使牛顿创立了微积分。

解析几何不仅把代数方法应用于几何，也把变量引入了数学，为微积分的创立开辟了道路，但真正起关键作用的还是函数概念的建立。1642年，即笛卡尔发表解析几何原理的5年以后，牛顿（I.Newton, 1642-1727）出生在英格兰林肯郡的一个小村庄，那一年伽利略出世了。

牛顿建立的微积分的方法称为“流数术”，他在剑桥大学上学时便开始研究，在回到家乡林肯郡躲避鼠疫的两年时间里取得了突破。据牛顿本人说，他是在1665年11月发明了“正流数术”（微分学），在次年5月发明了“反流数术“（积分学）。也就是说，牛顿与之前所有的探求微积分学的同行们不同，他把微分和积分作为矛盾的对立面一起考虑并加以解决（他的竞争者莱布尼茨也是如此）。

1669年，回到剑桥的牛顿在朋友们中间散发了题为”运用无穷多项方程的分析学“的小册子（此前，他曾从运动学的角度出发做过类似的探讨），像那个时候的其他学者一样，他也是用拉丁文写的。

牛顿假定，有一条曲线y，它下方的面积是：

z=ax^n

其中n可以是整数或分数。给定x的无限小增量叫o，由x轴、y轴、曲线和x+o处的纵坐标围成的面积，他用z+oy表示，其中oy是面积的增量，那么，

z+oy=a(x+o)^n

利用他自己发明的二项式展开定理，上式等号右边是一个无穷级数。将这个方程与前面的方程相减，用o除以方程的两边，略去仍然含有o的项，得到

y=nax^(n-1)

用现代的语言讲就是，面积在任意x点的变化率是曲线在x处的y值；反之，如果曲线是y=nax^(n-1)，那么它下方的面积就是z=ax^n，这正是微分学和积分学的雏形。两年以后，牛顿在一本《流数法与无穷级数》的书里给出了更广泛且明确的说明。他把变量叫做“流”（fluent），把变量的变化率叫做“流数”（fluxion），“流数术”一说由此而来。

与此同时，牛顿也将他的正、反流数术应用于切线、曲率、拐点、曲线长度、引力和引力中心等问题的计算。

5 莱布尼茨的微积分

莱布尼茨（G.W.Leibniz, 1646-1710）在1672～1676年四年居留巴黎期间，与荷兰数学家物理学家惠更斯的结识交流，激发了他对数学的兴趣，开始了对求曲线的切线以及面积和体积等微积分问题的研究。莱布尼茨的微积分是从几何学的角度出发的。确切地说，他最初（1673）是从帕斯卡的一篇谈论圆的论文中获得灵感的。

莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考，尤其是对特征三角形的研究，于1673年莱布尼茨提出了自己的“特征（直角）三角形”。莱布尼茨是这样考虑的：

如图上图所示，设曲线c通过原点，P(x，y)为曲线c上的任一点，过P作法线交x轴于N，从P点的垂足H到N的距离V（称为次法线）是x的函数，则从o到x的面积为1/2y^2。

在P点的无穷小邻近曲线上取一点Q，以PQ为“斜边”作一“特征（直角）三角形△PQR”，其两段PR, RQ为无穷小变化量dx和dy，则Rt△PQR～Rt△PNH，于是有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，求和得

若以ds表特征三角形的斜边，过P点的法线长为n，则有ds/n=dx/y，即yds= ndx，求和得∫yds=∫ndx②

由此可得曲线c绕x轴旋转所得旋转体的表面积为s=∫2πyds-∫2πndx

因当时还没有积分符号，莱布尼茨是这样用语言来描述他这一重要结果的：

“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆中即为半径），按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比。”

早在1666年，莱布尼茨就在《论组合的艺术》一文中考察过下列平方数数列：

0，1，4，9，16，25，36，…

其一阶差是

1，3，5，7，9，11，…

二阶差是

2,2,2,2,2,…

他注意到一阶差的和对应于原数列，求和与求差成互逆关系，由此他联想到微分与积分的关系。利用笛卡尔坐标系，他把曲线上无穷多个点的纵坐标表示成y的数列，相应的横坐标的点就是x的数列。如果以x作为确定纵坐标的次序，再考虑任意两个相继的y值之差的数列，莱布尼茨惊喜地发现，“求切线不过是求差，求积不过是求和”。

求曲线的切线，依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积，则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（亦即宽度为无限小的矩形面积之和），并看到了这两类问题的互逆性。莱布尼茨在给洛必达的一封信中总结说：“求切线不过是求差，求积不过是求和”。

对于求和，在莱布尼茨1675年10月29日的一份手稿中，首先使用了符号“∫”，这是将“sum”的首个字母“s”的拉长。在11月11目的手稿中又引进了“dx”表示两相邻x值的差。l 676年11月莱布尼茨已能给出幂函数的微分与积分公式：

其中e不一定是正整数。

1677年，莱布尼茨在手稿中明确陈述了微积分基本定理。为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为dz/dx=y，这样原曲线下的面积为∫ydx=∫dz=z。如果是在区间[a，b]上，便得到面积

莱布尼茨于1684年发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》（简称新方法），也是数学史上第一篇微分文献，刊登在莱比锡的《教师学报》上。

文中引进微分式，并给出了微分式的和、差、积、商乘幂与方根的微分公式：

d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv+vdu;

1686年，莱布尼茨发表他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，文中论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，并得出摆线方程：

亦即某些超越曲线也可写出其方程。

莱布尼茨引进的符号“d”和“∫”体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，获得普遍承认，一直沿用至今。