【ds比dt为什么不是速率】看了这个，就了解了微积分

伽利略和笛卡尔去世后，罗马教会对自然科学的压迫也结束了，特别是像英格兰这样远离欧洲大陆的小岛。(莎士比亚，詹姆斯国王，北方专家)。

在伽利略去世的同年圣诞节，上帝又为人类送来另一位天才的科学家，并把他的出生地选择在英格兰岛。

艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1642—1727），生于1642年圣诞节（儒略历，加10天等于格里历，欧洲大陆当时采用格里历，但是英国仍然采用儒略历；1644年，清兵入关，明朝覆灭）。这位天才出生并不是顺风顺水，他在娘胎里待了4个月左右，父亲就去世了，到了7个月，他就出生了。如果是为了赶上和耶稣同一天生日，那绝对是一个玩笑。因为这冒着天大的危险，牛顿生下来才1.35kg，连正常人的一半都不到。这个可以放到1夸脱（约1100ml）的杯中孩子，在所以人看来夭折不过是早晚的事，然而牛顿却坚强的活了下来，并且坚强的活到了84岁，在物理圈算是高寿的了。

幼年的牛顿和他的外婆一起生活。即便到了少年时期，也看不出他有特别之处，成绩平平，但是动手能力很强，时常做一些小物件，比如著名的“牛顿的风车”。

牛顿的母亲一直希望牛顿安分的做个农民，在这点上，牛顿肯定是让她失望之极。12岁的牛顿选择了上一所皇家中学。由于路途遥远，借宿在一个老师家里。虽然哥白尼、开普勒、伽利略等人的学说和书籍都已经流行，然而教科书显然要晚于时代潮流的，那时候的中学教的还是亚里士多德和托勒密那套。牛顿老师家颇多的藏书正好弥补了缺憾，让牛顿产生很多奇妙的想法。请原谅我的八卦，似乎我对此时牛顿的个人情感比对他的想法更感兴趣。他在老师家邂逅了老师的女儿，并产生爱慕，这个女孩可能是牛顿一生中唯一爱恋的女人。

失望的母亲，一直没有打消让牛顿务农的想法。由于生活拮据，她让牛顿回来照看农场，可惜牛顿放牛牛跑，看猪猪丢，唯一不会不跑不丢的就是手里的书。牛顿的舅舅发现这点，他认为外甥是个璞玉，并鼓励他去大学雕琢一番。

19岁的牛顿告别家乡，前往剑桥大学深造。人生总得有个小目标，但在大学4年里，他把一生想要干的事情，都列在纸上。1664年，牛顿毕业，正当他踌躇满志时，欧洲爆发了黑死病，把他打回了原籍。他待在乡下躲避瘟疫，成了待业无职的闲杂人等。

闲赋在家的牛顿没有闲着，实际上他也没有办法让自己闲下来，说得好听点叫职业精神，不好听点，我觉得就是强迫症。

总之，他的大脑就像浩瀚的星空，灵感就像划过天际的流星，在惊鸿一瞥间，就可将整个星空点燃。1665年5月划过他大脑的那个流星可以称之为流数术，即微积分。

微积分，高等数学入门必修科目。一听到这个名字，总是让人想假装四处看风景。实际上，佶屈聱牙并不是微积分的本意，在精神层面上，它是很平易近人的。试演一二。

假设有个小车在公路上行驶，根据路况，小车的速度不断的发生变化。通过测量时间和位置可以得到如下坐标图：

如图所示，可以测量小车一段时间内的平均速度。那么怎么测量小车的即时速度呢？如果时间间隔△t很小很小，到底有多小？无穷小，接近了0但又不是0，记为△t->0，那么△S/△t就是t1点的即时速度。记为：v=ds/dt。这其实就是曲线上t1时刻点斜率，微分可以简单总结为用于描述变化量的的变化快慢。

那么，反流数（积分）怎么解释呢？积分求一个不规则形状的面积——笛卡尔的心里面积，看看传说中的笛卡尔爱她有多深。

不规则的图形面积是不能直接计算的，但是可以用规则图形（长方形）去切割，如图所示，当N=1时，误差很大；当N=8时，误差就小很多了；继续切割，N的数值也越大，到底有多大呢？无穷大，记为N->∞，就能没有误差计算出来不规则图形面积了。只是有个问题，当N->∞时，每个长方形的宽度趋向于0，也就意味着每个长方形的面积趋向于0，简单可以总结为：点没有长度，但是有长度的线却看出是点组成的；线没有面积，但是有面积的面却可以看出是线组成的；面没有体积，但是有体积的体却可以看出是面组成的。一个不多，十个就不少了。不过N不能以某个具体数字衡量，它会大，到底有多大？我只能说很大很大，就像没有人能说清爱到底有深一样。

那么问题来了，这样演算合规矩么？实际上，这可能是每一个微积分初学者都会思考的问题，比如微分中，△t->0，△S同样也会趋于0，难道0÷0还有意义么？同样，积分中，无论怎么切割，永远都是一种近似，而不能取而代之的。

对于一些基本的自然现象或者算术问题，如果我们能对此产生质疑，那么请相信古希腊肯定也会有同样的疑问。他们称上面的△t为无穷小量，称N为无穷大量。这两种变量引发了上千年的讨论，其中就包括开普勒、伽利略和笛卡尔等等。

引入一个古希腊很有名也很有趣的悖论——阿喀琉斯悖论的故事。

阿喀琉斯是古希腊神话中人物，著名的特洛伊战争闻名，他以善跑著称。公元前5世纪，古希腊人芝诺提出阿喀琉斯和乌龟赛跑的问题。

乌龟在前1000米，阿喀琉斯在后，速度是乌龟的10倍。显而易见，如果阿喀琉斯不在路旁边睡觉的话，他将在1000/9这个时间点赶上乌龟。然而芝诺则认为阿喀琉斯永远也赶不上乌龟，如果这样计算的话：

第一次计算：当阿喀琉斯跑了1000米后，乌龟向前跑了100米，乌龟在前；

第二次计算：当阿喀琉斯100米后，乌龟向前跑了10米，乌龟还在前；

第三次计算：当阿喀琉斯10米后，乌龟向前跑了1米，乌龟还在前；

第四次计算：当阿喀琉斯1米后，乌龟向前跑了1/10米，乌龟还在前；

……

第N次计算：当阿喀琉斯跑到乌龟上次（N-1次）计算时的距离时，乌龟又向前跑了一点距离。由于N可以无限的计算下去，所以阿喀琉斯是永远也赶不上乌龟。

这个悖论其哲学意义远大于物理意义，演变到数学方法上，即连续的量，可否用离散的切割方式计算？牛顿在总结前人的基础之上，认为并采取了这样的方案，从而发明了微积分（流数术）。极限的概念也呼之欲出，比如无穷小量△t，可以看出极限是0；同样N极限是无穷大。1851年左右，德国著名的数学家魏尔斯特拉斯（1815-1897）终于给出了极限的数学定义，微积分也从怀疑走向了严格表达的一门数学方法。

微积分是伟大的发明，但牛顿在数学方面的成就远不止这些。他还发明了二项式定理、插值法、概率论等等。如果将这些作为单选项，只要其中一项便足以让其青史留名。假设有人要为人类历史上的数学家排座次，如果前三名中没有牛顿，那也是不科学的！不过此时的牛顿还没有声名鹊起，因为他并没有发表过一篇文章。

大约在此后的20年内，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716）也声称发明了微积分，并使用∫符号。有个微积分的基本公式现在称为牛顿——莱布尼茨公式，但是牛顿认为自己是微积分的独家发明人，而莱布尼茨是剽窃了他的成果，换了套衣服而已。大家众说纷纭，莫衷一是。究其原因始于莱布尼茨在发明微积分之前，曾经到英国访问过，并看到已经成名的牛顿的一些手稿，不过手稿中包含微积分与否现在也成了无头公案。总之，牛顿发明微积分是无可争议的，而莱布尼茨是第一个发表微积分的，按照现在的游戏规则，发明权当属莱布尼茨无疑。此外，即便莱布尼茨只是“剽窃”，也不能忽略他对微积分的贡献。

在一场场争吵中，莱布尼茨自然受到不少非议，但名声也不见得受到很大损伤，而损伤更大则是英国科学事业，很多英国科学家介入这场辩论中，并排斥德国乃至欧洲大陆的科学发展，闭门造车了一把。这些都是很多年后的事情，而此时，公元1665年，牛顿还是一个头脑发达、在乡下避乱的闲杂人等，还有很多故事要讲述。