【积分的面积为什么不是ds】微积分发展史4:积分概念的引进

我们从开始到现在一直在谈论面积，微积分的名字里正好还有一个“积”字，这两个“积”字之间有什么联系吗？答案是肯定的。

我们可以把微积分拆成“微分”和“积分”两个词，积分这个词当初被造出来，就是用来表示“由无数个无穷小的面积组成的面积S”。

如上图所示，如果一条曲线y=f(x)和x轴在a和b之间围成的面积为S，那么，我们就可以这样表示这部分面积S：

在第2节的例子里，我们求的是抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成的面积。那么，在这里f(x)=x²，a=0，b=1，而且最终我们知道这个结果等于1/3，把这些都代入进去我们就可以这样写：

也就是说，代表这块面积的积分值等于1/3。

为了加深一下大家对这个积分式子的理解，我们再回顾一下求抛物线围成面积的过程：我们用无数个矩形把0到1之间分成了无穷多份，然后把所有的矩形面积都加起来。因为矩形的面积就是底乘以高，而这个高刚好就是函数的纵坐标y。

所以，当我用无数个矩形来逼近原面积的时候，每个矩形的底自然就变成了无穷小，这个无穷小的底就是上面的dx。而x²表示的就是函数的纵坐标，就是矩形的高，底（dx）和高（x²）相乘不就是在求面积么？你再看看这个式子，跟前面求面积的过程是不是一样的？

不过，我还是要再强调一次，这里把dx当作一个无穷小的底，把积分当作是求面积，这些都是微积分创立初期的看法。这种看法非常符合我们的直觉，但是逻辑上是不严密的。这种无穷小量dx也招致了很多人（比如我们熟悉的贝克莱大主教）对微积分的攻击，并且引发了第二次数学危机，这场危机一直到19世纪柯西等人完成了微积分的严密化之后才彻底化解。随着微积分的涅槃重生，我们对这些基本概念的看法也会发生根本的改变。

关于求面积的事情到这里就讲完了，“用一些图形去无限逼近曲线图形”的想法很早就有了，穷竭法在古希腊就很成熟了，中国魏晋时期的数学家刘徽使用割圆术去逼近圆周率也是这种思想。到了17世纪初，这些思想并没有什么太大的改变，由于这些解法比较复杂，又很难扩展，所以大家的关注度并不高。

没办法，因为打死人们也不会想到：破解这种求曲线面积（求积分）的关键，竟然藏在一个看起来跟它毫无关联的东西身上，这个东西就是微积分名字里的另一半：微分。当牛顿和莱布尼茨意识到积分和微分之间的内在关系之后，数学就迎来了一次空前的大发展。